Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices by Patrice Tauvel PDF

By Patrice Tauvel

ISBN-10: 2100500740

ISBN-13: 9782100500741

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4. Soit avec k ∈ C. 1. On appelle série (entière) dérivée d’une série entière série entière (n + 1)an+1 zn. 2. Une série entière et sa série dérivée ont même rayon de conver- gence. Démonstration. Notons R, ρ les rayons de convergence de an z n et (n+1)an z n . 4). Il en est donc de même de la suite (n + 1)an z n . Ainsi, la série (n + 1)an z n diverge. D’où ρ R. • Supposons |z| < R, et soit α > 0 tel que |z| + α < R. 3). Or, d’après la formule du binôme : 1 |an+1 |(|z| + α)n+1 . |(n + 1)an+1 z n | α Par suite, la série de terme général (n + 1)a n+1 z n est absolument convergente.

2. Soient p ∈ N et an z n une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme S . Alors S(z) = a0 + a1 z + · · · + ap z p + z p ε(z), où ε(z) tend vers 0 quand z tend vers 0. Démonstration. Les séries entières n p+1 an z n et de convergence R. 1, il vient : lim ∞ z→0 n=p+1 n p+1 an z n−p ont pour rayon an z n−p = 0. D’où le résultat. an tn une série entière de la variable réelle, de rayon de convergence R > 0. 3. Soit ∞ b S(t) dt = a b tn dt. an n=0 a Démonstration. 1. an tn une série entière de la variable réelle, de rayon de convergence R > 0.

5 Fonctions développables en série entière 41 Démonstration. Il existe R > 0 et une série entière an z n , de rayon de convergence au moins égal à R, tels que D(0, R) soit contenu dans le domaine de définition de f , ∞ et f (z) = S(z) = an z n n=0 pour tout z ∈ D(0, R). 5), f l’est aussi. ap . 4. (i) S’il existe, le développement en série entière à l’origine d’une fonction est unique. (ii) Si f est développable en série entière à l’origine, ses dérivées successives le sont aussi, et leurs développements sont les séries entières dérivées successives du développement de f .

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by Donald
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